「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分
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| − | 2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\ | + | 2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は |
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
| − | {\bf a}\cdot {\ | + | {\bf a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2 |
</math>|1}} | </math>|1}} | ||
2014年12月28日 (日) 17:56時点における版
2次元の内積の定義は簡単です。
、
とすると内積は
| 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}\cdot {{\boldsymbol b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} | ( 1 ) |
この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。
ベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
を図のようにベクトルの長さと偏角 
、
で、表すと、
それぞれのベクトルの 
、 
成分は
構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(r_{a}\cos \alpha ,r_{a}\sin \alpha )
、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(r_{b}\cos \beta ,r_{b}\sin \beta )
となります。従って内積は
構文解析に失敗 (不明な関数「\tag」): {\bf a}\cdot {\bf b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{2}
となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) \tag{3}
という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる 
はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
がなす角度です。
つまり、内積はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が同じ向きの時 
となり、正のもっとも大きな値になります。
構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が垂直の時 
になります。
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